Diberikan bilangan real a>0 dan a≠1. Jika a log ⁡y, a log⁡ (y+1), a log⁡(3y+1) membentuk tiga suku berurutan barisan aritmetika, maka kuadrat nilai-nilai y yang mungkin adalah…

www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Bahas Soal Matematika   »     ›  

Diberikan bilangan real \(a > 0\) dan \(a \neq 1\). Jika \( {}^a \! \log y, {}^a \! \log (y+1), {}^a \! \log (3y+1) \) membentuk tiga suku berurutan barisan aritmatika, maka kuadrat nilai-nilai \(y\) yang mungkin adalah…

  1. 1/3
  2. 1/2
  3. 1
  4. 2
  5. 3

(Soal UM UGM 2019)

Pembahasan:

Berdasarkan sifat barisan aritmatika, kita peroleh:

\begin{aligned} u_2-u_1 &= u_3-u_2 \\[8pt] 2u_2 &= u_3+u_1 \\[8pt] 2 \cdot {}^a \! \log (y+1) &= {}^a \! \log (3y+1)+{}^a \! \log y \\[8pt] {}^a \! \log (y+1)^2 &= {}^a \! \log \{(3y+1)(y)\} \\[8pt] (y+1)^2 &= (3y+1)(y) \\[8pt] y^2+2y+1 &= 3y^2+y \\[8pt] 2y^2-y-1 &= 0 \\[8pt] (2y+1)(y-1) &= 0 \\[8pt] y = -\frac{1}{2} \ &\text{atau} \ y = 1 \end{aligned}

Nilai \( y = -\frac{1}{2} \) tidak memenuhi karena \( y > 0 \) sehingga nilai yang memenuhi adalah \(y=1\). Kuadrat nilai-nilai \(y\) yang mungkin adalah \( y^2 = 1^2 = 1 \).

Jawaban C.